Формула тонкой линзы физика. Вывод формулы тонкой линзы

Рассмотрим, выведенные формулы:

(3.8)

Сравним формулы (3.7 и 3.8), очевидно, что можно записать следующее выражение, связывающее оптические характеристики линзы (фокусные расстояния) и расстояния, характеризующие расположение предметов и их изображений:

, (3,9)

где F - фокусное расстояние линзы; D - оптическая сила линзы; d - расстояние от предмета до центра линзы; f - расстояние от центра линзы до изображения. Обратная фокусному расстоянию линзы величина

называется оптической силой.

Эта формула получила название формулы тонкой линзы. Она применяется только с правилом знаков: Расстояния считаются положительными, если они отсчитываются по направлению светового луча, и отрицательными, если эти расстояния отсчитываются против хода луча.

Рассмотрим следующий рисунок.

Отношение высоты изображения к высоте предмета называется линейным увеличением линзы.

Если рассмотреть подобные треугольники ВАО и ОАВ(рис.3.3), то линейное увеличение, даваемое линзой, можно найти следующим образом:

, (3.10)

где АВ - высота изображения; АВ- высота предмета.

Для качественного получения изображения используются системы линз и зеркал. При работе с системами линз и зеркал важно, чтобы система была центрирована, т.е. оптические центры всех тел, составляющих данную систему, лежали на одной прямой линии, главной оптической оси системы. При построении изображения в системе используется принцип последовательности: строят изображение в первой линзе (зеркале), затем это изображение является предметом для следующей линзы (зеркала) и вновь строят изображение и т.д.

Кроме фокусного расстояния оптической характеристикой линз и зеркал является оптическая сила, это величина обратна фокусному расстоянию:

(3,11)

Оптическая сила оптической системы всегда равна алгебраической сумме оптических сил, составляющих данную оптическую систему линз и зеркал. Важно помнить, что оптическая сила рассеивающей системы является величиной отрицательной.

(3.12)

Оптическая сила измеряется в диоптриях D=м -1 = 1дптр, т.е.одна диоптрия равна оптической силе линзы с фокусным расстоянием в 1м.

Примеры построения изображений с помощью побочных осей.

Так как светящаяся точка S находится на главной оптической оси, то все три луча, используемые для построения изображения совпадают и идут вдоль главной оптической оси, а для построения изображения нужно минимум два луча. Ход второго луча определяют с помощью дополнительного построения, которое выполняется следующим образом: 1) строят фокальную плоскость, 2) выбирают любой луч, идущий из точки S;

3) параллельно выбранному лучу, проводят

Аберрации оптических систем

Описываются аберрации оптических систем и методы их уменьшения или устранения.

Аберрации - общее название для погрешностей изображения, возникающих при использовании линз и зеркал. Аберрации (от лат. «аберрацио» - отклонение), которые проявляются только в немонохроматическом свете, называются хроматическими. Все остальные виды аберраций являются монохроматическими, так как их проявление не связано со сложным спектральным составом реального света.

Источники аберраций . В определении понятия изображения содержится требование того, чтобы все лучи, выходящие из какой-то точки предмета, сходились в одной и той же точке в плоскости изображения и чтобы все точки предмета отображались с одинаковым увеличением в одной и той же плоскости.

Для параксиальных лучей условия отображения без искажений соблюдены с большой точностью, однако не абсолютно. Поэтому первый источник аберраций состоит в том, что линзы, ограниченные сферическими поверхностями, преломляют широкие пучки лучей не совсем" так, как это принимается в параксиальном приближении. Например, фокусы для лучей, падающих на линзу на разных расстояниях от оптической оси линзы, различны и т. д. Такие аберрации называют геометрическими.

а) Сферическая аберрация - монохроматическая аберрация, обусловленная тем, что крайние (периферические) части линзы сильнее отклоняют лучи, идущие от точки на оси, чем ее центральная часть. В результате этого изображение точки на экране получается в виде светлого пятна, рис. 3.5

Этот вид аберрации устраняется путем использования систем, состоящих из вогнутой и выпуклой линз.

б) Астигматизм - монохроматическая аберрация, состоящая в том, что изображение точки имеет вид пятна эллиптической формы, которое при некоторых положениях плоскости изображения вырождается в отрезок.

Астигматизм косых пучков проявляется тогда, когда пучок лучей, исходящих из точки, падает на оптическую систему и составляет некоторый угол с ее оптической осью. На рис. 3.6а точечный источник расположен на побочной оптической оси. При этом возникают два изображения в виде отрезков прямых линий, расположенных перпендикулярно друг другу в плоскостях I и П. Изображение источника можно получить лишь в виде расплывчатого пятна между плоскостями I и П.

Астигматизм, обусловленный асимметрией оптической системы. Этот вид астигматизма возникает, когда симметрия оптической системы по отношению к пучку света нарушена в силу устройства самой системы. При такой аберрации линзы создают изображение, в котором контуры и линии, ориентированные в разных направлениях, имеют разную резкость. Это

наблюдается в цилиндрических линзах, рис. 3.6

Рис. 3.6. Астигматизм: косых лучей (а); обусловленный

цилиндрической линзой {б)

Цилиндрическая линза образует линейное изображение точечного объекта.

В глазу астигматизм образуется при асимметрии в кривизне систем хрусталика и роговицы. Для исправления астигматизма служат очки, которые имеют различную кривизну в разных направлениях.

направлениях.

в) Дисторсия (искажение). Когда лучи, посылаемые предметом, составляют большой угол с оптической осью, обнаруживается еще один вид аберрации - дисторсия. В этом случае нарушается геометрическое подобие между объектом и изображением. Причина состоит в том, что в действительности линейное увеличение, даваемое линзой, зависит от угла падения лучей. В результате изображение квадратной сетки принимает либо подушко-, либо бочкообразный вид, рис. 3.7

Рис. 3.7 Дисторсия: а) подушкообразная, б) бочкообразная

Для борьбы с дисторсией подбирают систему линз с противоположной дисторсией.

Второй источник аберраций связан с дисперсией света. Поскольку показатель преломления зависит от частоты, то, и фокусное расстояние и другие характеристики системы зависят от частоты. Поэтому лучи, соответствующие излучению различной частоты, исходящие из одной точки предмета, не сходятся в одной точке плоскости изображения даже тогда, когда лучи, соответствующие каждой частоте, осуществляют идеальное отображение предмета. Такие аберрации называются хроматическими, т.е. хроматическая аберрация заключается в том, что пучок белого света, исходящий из точки, дает ее изображение в виде радужного круга, фиолетовые лучи располагаются ближе к линзе, чем красные, рис. 3.8

Рис. 3.8. Хроматическая аберрация

Для исправления этой аберрации в оптике используют линзы, изготовляемые из стекол с разной дисперсией: ахроматы,

Для тонкой линзы хорошо бы иметь формулу которая будет связывать все её основные параметры. Фокусное расстояние F, расстояние от линзы до предмета d и расстояние от линзы до изображения f.

Построим сначала изображение предмета в тонкой собирающей линзе. Рассмотрим следующий рисунок.

картинка

Изображение предмета в линзе

Направим из точки А луч параллельный главной оптической оси. Как уже известно, после преломления он пройдет через фокус линзы. Далее построим луч АО. Так как он проходит через оптический центр линзы, он не будет преломляться. Эти два луча пересекутся в точке А1. Это и будет изображение точки А в собирающей тонкой линзе.

В принципе, мы могли выбрать другой луч, например, тот, что проходит через фокус и построить его. Это луч AD. Так как он проходит через фокус линзы, то после преломления он будет направлен параллельно главной оптической оси. Как видите, он пересекается с другими лучами в точке А1.

Соединим точку А1 и главную оптическую ось отрезком. Это будет изображение предмета АВ в тонкой линзе.

Формула тонкой линзы

Треугольники АОВ и А1В1О подобны. Следовательно, между их сторонами будет выполняться следующее равенство:

BO/OB1 = AB/A1B1.

Треугольники COF и FA1B1 тоже подобные. Следовательно, между их сторонами будет выполняться следующее равенство:

CO/A1B1 = OF/FB1.

AB = CO. Следовательно,

AB/A1B1 = OF/FB1.

BO/OB1 = OF/FB1.

Если записать в терминах описанных выше обозначений:

По свойству пропорции имеем:

F*f = F*d = f*d.

Поделим каждый член этого равенства на произведение f*d*F и получим:

Это уравнение называется формулой тонкой линзы. В этой формуле величины f, F, d могут быть любого знака, как положительного, так и отрицательного. Применяя формулу, необходимо ставить знаки перед слагаемыми согласно следующему правилу.

Если линза собирающая, то перед 1/F ставят знак «плюс». Если линза рассеивающая, то перед 1/F ставят знак «минус». Если с помощью линзы получено действительное изображение, то перед членом 1/f нужно поставить знак «плюс». Если получено мнимое изображение, то членом 1/f нужно поставить знак «минус».

Перед членом 1/d ставят знак «плюс» если точка действительно светящаяся. Если точка мнимая, то перед 1/d ставят знак «минус». Данные правила мы будем использовать в дальнейшем без доказательства.

Если величины f, F, d неизвестны сначала везде ставят знак «плюс». Потом производят вычисления. Если получается какая-нибудь отрицательная величина, то это означается что фокус, изображение или источник будут мнимыми.

Лабораторная работа № 13

Определение фокусного расстояния рассеивающей линзы

и ее оптической силы»

Цель: научиться определять фокусное расстояние рассеивающей линзы и ее оптическую силу, зная фокусное расстояние собирающей линзы.

Приборы и оборудование:

1. Лабораторный оптический комплекс ЛКО-1.

2. Конденсор (модуль 5) (f = 12 мм).

3. Объектив (модуль 6).

4. Кассета с держателем (модуль 8).

5. Микропроектор (модуль 3).

6. Объект № 14.

Теоретические сведения

Линза – прозрачное тело, ограниченное двумя криволинейными поверхностями.

Криволинейные поверхности могут быть сферическими, цилиндрическими, параболическими, плоскими (для которых радиус кривизны стремится к бесконечности).

Линзы бывают выпуклые и вогнутые. Их внешний вид может быть следующим:

Выпуклые

Вогнутые

Линза, у которой края тоньше, чем середина – выпуклая, а если середина тоньше, чем края – вогнутая.

В зависимости от показателя преломления линзы n л и показателя преломления среды n ср, в которой она находится, линза может быть собирающей или рассеивающей:

Луч света, проходящий через оптический центр линзы, не изменяет своего направления распространения.

О 1 О 2 О 1 О 2

Параксиальные лучи - это лучи параллельные главной оптической оси.

Главный фокус – это точка, в которой пересекаются параксиальные лучи или их продолжения после их прохождения через линзу.

т.о. мы знаем дальнейший ход лучей после линзы:

а) луч идущий через оптический центр не изменяет своего направления распространения;

б) луч идущий до линзы параллельно главной оптической оси после линзы идет через фокус (или выходит из фокуса – для рассеивающей линзы);

в) луч идущий через фокус после прохождения собирающей линзы идет параллельно главной оптической оси.

Эти лучи и применяют для построения изображений в линзах.

Для построения изображения т.А проводим луч АС//ВО, после прохождения линзы они будут пересекаться в фокальной плоскости (т.Р), а точка пересечения главной оптической оси и этого луча СМ дают изображение т.А".

Расстояние предмета от линзы ОА обозначим d , а изображения ОА" обозначим f.

Рассмотрим треугольники: ВАО и В"А"О, они подобные, следовательно:

; или . (1)

Треугольники СОF и В"А"F тоже подобны

Из уравнения (1) и (2) получаем:

Последнее уравнение умножим на :

; откуда (3)

Величина называется оптической силой линзы и измеряется в диоптриях (дптр).

Формула линзы с учетом показателя преломления материала и радиуса кривизны поверхности , где R 1 и R 2 - радиусы кривизны поверхностей. Для выпуклых поверхностей R > 0 для вогнутых поверхностей R < 0, для плоской поверхности .

Увеличение линзы: .

Выполнение работы

1. Для выполнения работы необходимо собрать установку согласно схемы 1.

Перемещая собирающую линзу (объект 6)добиваемся четкого изображения источника света с помощью микропроектора (3) на экране.

2. Измерив расстояния а 1 и в 1 и используя формулу тонкой линзы определим фокусное расстояние собирающей линзы .

3. Собираем установку согласно схемы 2

М5 М6 М8 М3

В касете 8 находится объект №14 (рассеивающая линза).

4. Перемещая кассеты 6 и 8 получаем четкое изображение светящейся точки на экране, и измеряем а 2 , зная F c находим расстояние в 2 на котором должно получиться изображение с помощью собирающей линзы (положение т. ).

5.Определяем а р = (в 2 – l) расстояние, на котором находится т. относительно рассеивающей линзы. По отношению к рассеивающей линзе т. является предметом. Измерив, расстояние в р определяем фокусное расстояние рассеивающей линзы по формуле: .

6.Результаты измерений и вычислений занести в таблицу:

№ п/п	а 1	в 1	F с	а 2	в 2	l а р	в р	F р	ε
1.
2.
3.
Средн.